out of the blueは何かが突然予期せずに起こることを表すフレーズになります。例えば、何年も音信不通だった友人から突然連絡が来た、などのように、前触れや警告なしに、予測できないタイミングや状況で何かが起こることを表します。
また、突然の出来事や意外な展開に対しても、Out of the blue, he said that he’s changing jobs.」（突然彼が転職するといった）というように使われます。
日本語でいう、「晴天の霹靂」に近い表現ですね。

keep an eye on は「～から目を離さない、～を見守る」という意味のイディオムです。「荷物を置いたままいったん席を離れるとき」や「子どものお世話をしているとき」などに用いられます。それぞれのシチュエーションでの使い方を確認しましょう。

tie は necktie（ネクタイ）や tie one’s shoe（靴の紐を結ぶ）といった表現などからもわかる通り「結ぶ」という意味です。I’m all tied up now.は「今は全て縛られている」つまり、「忙しくて手一杯」「手が離れません」などというニュアンスになります。

来客の受付応対時に使う「お待ちしておりました」は、動詞のexpectを用いて、We/I have been expecting you. と表現します。

expectには「（当然起きることとして）期待する、予期する」のほかに、「（来るであろう人を）待つ）」という意味もあるのです。

under the weatherは直訳すると「天気の下」ですが、実際には「気分がすぐれない」ということを伝える表現になります。航海中の船乗りが、under the weather（過酷な天候）が原因で体調を崩したことから生まれた表現のようです。少し風邪気味だったり、気持ちが少し落ち込んでいるような場合にも使います。直接的ではなく、「ちょっと体調が優れない」・・・のようなニュアンスで使いたい時にピッタリの言い方になります。