“reimburse”という言葉は「払い戻す、返金する」という意味の動詞。仕事の打ち合わせでかかった食事代や移動の際の交通費など、自分で立て替えて払った費用を「経費で落とす」場合に使います。

drop the ball は「へまをする、失敗する」という意味の慣用表現です。野球などのスポーツでボールを落として失点につながることから連想できるように、その人が受け持っていることをしくじってしまったような場面で使われます

ある場所への到着時刻を英語で伝えたい場合、たとえば昼食の約束があるなどして「正午にレストランに行かないと！」と言いたいときに、つい日本語の発想で I need to go to the restaurant at noon. と表現してしまうかもしれません。しかし、それではレストランに着く時刻ではなく、レストランに向かって出発する時刻を述べていることになります。

That explains it.
explainは「説明する」という意味なので、That explains it.で、自分が疑問に思っていたことが、相手の説明や発言によって「それで腑に落ちた」「どおりでそのはずだ」と納得がいった気持ちを表すときに使います。その発言で説明がついた、もやもやがすっきりした！のようなイメージです。No wonder.という言い回しも同じニュアンスで「なるほど、納得」のような意味合いで使いますので合わせて覚えておきましょう。

仕事を終えて帰宅する際、日本では「お先に失礼します」というあいさつをして会社を出る習慣がありますね。「上司や同僚よりも先に帰るのが申し訳ない」という気持ちが表れた表現ですが、欧米人にとってはこのような感覚はないため、先に帰る場合はシンプルな別れのあいさつをするのが一般的です。