ropeは「ロープ」「縄」という意味ですが、口語ではthe ropesで「コツ」という意味もあります。なので、show someone the ropes で「コツを見せる」つまり、手ほどきをする、コツをやってみせるといった意味で使われます。似ている表現でlearn the ropesというイディオムがあり、「コツを学ぶ」「要領を得る」といった意味になります。諸説ありますが、船上でのロープの扱いを覚える＝慣れる、というところから生まれた表現だと言われています。ropesと複数形にするのを忘れないでくださいね。

日々のありふれた出来事のことを、日本語では「日常茶飯事」といいます。これにぴったりあてはまるのが、daily occurrence という英語表現。daily は形容詞で「毎日の、日常の」、 occurrence は名詞で「出来事、事件」という意味を持つことから、この２つの単語を組み合わせて「毎日の出来事」→「日常茶飯事」です。

That explains it.
explainは「説明する」という意味なので、That explains it.で、自分が疑問に思っていたことが、相手の説明や発言によって「それで腑に落ちた」「どおりでそのはずだ」と納得がいった気持ちを表すときに使います。その発言で説明がついた、もやもやがすっきりした！のようなイメージです。No wonder.という言い回しも同じニュアンスで「なるほど、納得」のような意味合いで使いますので合わせて覚えておきましょう。

動詞の mind は「気にする」という意味。お詫びに対して Never mind. なら「気にしないで」ということですし、誰かの作業を邪魔したくないときに Don’t mind me. と言えば「私のことは気にしないで続けてください」→「お構いなく」の意味になります。

食事に誘う
grab a bite は「軽く食事をする、軽食をとる」という意味で、日常会話でよく使われるイディオムです。