fall flat on one’s faceが持つ２つの意味は異なりますが、フレーズが持つイメージは関連性があるので、２つの意味をまとめて覚えておきましょう！

cold day は「寒い日」という意味。１つめの英文には、この cold day を用いた cold day in hell というイディオムが使われています。cold day in hell を直訳すると「地獄の寒い日」ですが、hell（灼熱地獄）では cold day（寒い日）になることはないということから、これで「決してありえない、絶対にない」という意味の英語表現になります。

stay out of …で「〜に関わらない」「〜を避ける」という意味で、Stay out of it.で「口出ししないで」「首をつっこまないで」のような意味になります。
Stay out of trouble. では「トラブルを避けてね」が直訳になりますが、つまり、誰かが出かける際に「トラブルに巻き込まれないように、気をつけて行ってきてね」という気持ちを込めて送り出すひと言になります。

tie は necktie（ネクタイ）や tie one’s shoe（靴の紐を結ぶ）といった表現などからもわかる通り「結ぶ」という意味です。I’m all tied up now.は「今は全て縛られている」つまり、「忙しくて手一杯」「手が離れません」などというニュアンスになります。

動詞 wipe は「拭く、ぬぐう」という意味。wipe one’s hands on a clean towel「清潔なタオルで手を拭く」のように、布などを用いて水分や汚れをぬぐい去るときに使える単語です。しかし、副詞out を付けて wipe out とすると、「（人を）疲れ果てさせる」という意味が生じます。