リキが思った通り、shotは「発砲」「発射」などという意味ですが、実は「試み」という意味もあります。なので、give a shotで「試しにやってみる」「挑戦してみる」などという意味として使われています。躊躇している相手に「試してごらんよ」と背中を押すようなひと言になります。shotの代わりにtryでもOKです。また、Give it your best shot.「精一杯やってみなよ」のようにbest を入れるとさらに強調された言い方になります。

リキは「君は（手伝わなくて）いいよ」と言うつもりでIt’s none of your business. と返答しましたが、

実はこれは「あなたには関係ない、余計なお世話だ、おせっかいだ」という意味のかなりキツいフレーズ。

gesture はみなさんもご存じの通り、「ジェスチャー」つまり意思表示のことですよね。ナイスジェスチャーは「素晴らしい意思表示」つまり相手の思いやりのある行為などを表します。何かしてもらった時に、That’s a nice gesture.といえば「優しいね」「気が利くね」のような意味になります。

一見「銀のスプーンをくわえて生まれる」のような意味に思えますが、これは実は生まれながらにしてお金持ち、裕福な家庭に生まれる、という意味で使われるフレーズです。silver spoon には「銀のスプーン」以外にも「富」という意味があり、まさに財産の象徴となる言葉になります。

wordは「単語」「言葉」などという意味ですが、実は「保証」や「約束」という意味もあります。相手に対して自分の言ったことを「保証する」「約束するよ」と言いたい時に使う表現になります。I’ll keep my word.といっても同じような意味になります。反対に相手に約束してほしい時には、Can you give me your word?（約束してくれる？）のようにも使います。どちらも使えるようにしておくといいですね。