snug as a bug in a rug は英語特有の比喩的な表現。snugは「居心地がよい、くつろげる」、a bug in a rugは「じゅうたんの中の虫」という意味です。直訳すると「じゅうたんの中の虫のように居心地がよい」となり、そこから「ゆったりくつろいで、ぬくぬくと居心地よく」という意味合いのイディオムになります。

今教えてもらったことがちょっとわからないという程度なので、I don’t understand.が自然な表現になります。

「理解しない（＝わからない）」という事実を、can’tではなくdon’tを用いてシンプルに表現すればいいのです。

leaveには「出発する」「離れる」という意味があり、I’m leaving.で「行ってきます」「行くね」とその場から離れる時に使います。Leave to me.というフレーズでは、leave は「任せる」という意味で使われていて、leave it to …で「〜に任せる」という意味になります。

rollは「巻く」「転がす」などという意味ですが、「何かをはじめる」「何かに取り掛かる」という意味もあります。準備が整って「さあはじめよう！」という積極的な気持ちを伝えます。どこかに出かける時や、イベントごとをはじめるときに使うカジュアルな言い方になります。rollの代わりにbounceもよく使いますので一緒に覚えておきましょう。

all over the place には「至るところに、そこら中に」という意味があります。Please put your dirty dishes in the sink instead of leaving them all over the place. (使った食器をそこら中に置きっぱなしにしないで、流しに置いてください) のように、あちこちに散乱している様子を表します。