plateは「皿」なので、have a lot on one’s plateの直訳は「〜の皿にたくさんのものがある」になります。それが転じて、「多くの仕事ややらねばならないことがたくさんある」ということを指す表現として使われています。やるべきことや取り組んでいることが非常に多く、忙しい状況を表現する際に使われます。特にビジネスで使われますが、家事や宿題など「やることが山ほどある！」という意味で、日常会話でもよく使われています。

「締め切りに間に合わない！」は英語でI’m gonna miss the deadline! と表現します。

miss a/the deadlineは「締め切りに間に合わない、締め切りに遅れる」というイディオムです。

もうひとつblowを使ったフレーズを紹介します。blow away は、「吹っ飛ばす」「吹き飛ばす」という意味ですが、blown awayだと何かに吹き飛ばされるくらい圧倒されて「感激した」「驚いた」という意味になります。素晴らしいことや自分にとって意外なニュースを聞いて、驚きや感動の気持ちを強調する時に使う表現です。とてもカジュアルな表現なので、親しい人の間で使います。感動の気持ちを思い切り表現したい時におすすめです。

out of the blueは何かが突然予期せずに起こることを表すフレーズになります。例えば、何年も音信不通だった友人から突然連絡が来た、などのように、前触れや警告なしに、予測できないタイミングや状況で何かが起こることを表します。
また、突然の出来事や意外な展開に対しても、Out of the blue, he said that he’s changing jobs.」（突然彼が転職するといった）というように使われます。
日本語でいう、「晴天の霹靂」に近い表現ですね。

hit the sackのsackは「ズタ袋」という意味で、ジャガイモなど野菜が入った粗い目の布を指します。転じて口語では「寝袋」「ベッド」を指し、hit the sackで「寝る」という意味になります。友人との会話で「もう寝るね」などというときに、I’ll hit the sack.などと言います。干草を意味するhayを使って、hit the hayも同じ意味です。これも昔は干草をベッドにしたり、布団の詰め物として干草が使われていたことなどから派生したのでしょう。go to bed以外にも、気軽な表現も覚えておくと、会話にバリエーションができますね。