「私が支払います」を直訳してI’ll pay. でもいいですが、この表現はやや直接的。こんなとき、ネイティブがよく使うのがIt’s on me. 「私のおごりです」という表現です。

You bet.は、「もちろんです！」という意味で、相手から何か提案された時や、予定などを聞かれた時に、ノリノリで答えるときのひと言です。

spill the beans は、直訳では「豆をこぼす」ですが、かつてギリシャで投票するときに白と黒の豆を使って行い、それをこぼす＝投票結果がわかる、というところから、予期せず「秘密をばらす」という意味で使われるようになったようです。ですから、Don’t spill the beans.と否定形にすると「秘密にしてね」という意味になります。spill 自体に秘密などを「漏らす」という意味もあるので、Spill it! で「白状しろ！」という意味で使われます。

eat like a horseは直訳で「馬のように食べる」ですが、つまり馬みたいに「食欲がすごい」といった意味で、食欲が旺盛でたくさん食べる様子を表します。ここでは、「空腹だからとにかくたくさん食べるぞ！」といった意味で使われています。反対に少食はeat like a birdになります。どちらもイメージしやすいですね。

ユキも「州都の場所・位置」ではなく「州都の名称」を知りたかったわけです。

その場合は、Where…?ではなく、What…? という聞き方をするのがベストです。