Do you have the time? の直訳は「あなたはその時間を持っていますか？」ですが、これで「今何時ですか？」と現在の時間をたずねる決まり文句になります。カジュアル・フォーマル問わず、どのようなシーンでも使うことができます。

spill the beans は、直訳では「豆をこぼす」ですが、かつてギリシャで投票するときに白と黒の豆を使って行い、それをこぼす＝投票結果がわかる、というところから、予期せず「秘密をばらす」という意味で使われるようになったようです。ですから、Don’t spill the beans.と否定形にすると「秘密にしてね」という意味になります。spill 自体に秘密などを「漏らす」という意味もあるので、Spill it! で「白状しろ！」という意味で使われます。

「雨男」「雨女」を英語で言うと？さっきまで晴れ渡っていたのに、その人が表れたとたんに雨が降り出した…そんな場面に遭遇したことはありませんか？

cup of tea は「一杯のお茶」という意味ですが、紅茶のブランドや飲み方にはそれぞれ好みがあることから、「好きなもの」「好み」「お気に入り」という意味でも使われています。
myの前にreally やjustを入れるとさらに強調されて、「まさに私好み」という意味になります。また、否定的にIt’s not my cup of tea.（これは好みじゃないな）と使うことも多く、苦手なものや不得意なことを「嫌い」と言わずにやんわり伝えることができます。

get someone started で「〜をはじめさせる」という意味で、ここでは「おしゃべり」のこと。「私におしゃべりをはじめさせないで」が直訳ですが、つまり「話し出すとキリがないよ」「覚悟してね」のようなニュアンスで、自分がたくさん話したい時に使います。