cold day は「寒い日」という意味。１つめの英文には、この cold day を用いた cold day in hell というイディオムが使われています。cold day in hell を直訳すると「地獄の寒い日」ですが、hell（灼熱地獄）では cold day（寒い日）になることはないということから、これで「決してありえない、絶対にない」という意味の英語表現になります。

bucketは「バケツ」という意味ですが、sweatは「汗」「汗をかく」という意味ですので、バケツいっぱいになるほど「大量に汗をかく」という意味になります。sweat bucketsで「大量の汗をかく」「汗だくになる」という意味になります。大粒の汗が次から次へと出てとまらないとき、暑さを誇張して使う表現になります。カジュアルな言い方なので、家族や友達の間でよく使われます。

make a sceneは「大騒ぎをする、醜態をさらす」という意味のイディオムです。

つまり、Don’t make a scene. は人前で騒ぎ立てたり、

怒り出したりする相手に「大騒ぎしないで、醜態をさらさないで」と伝えるフレーズ。

体調を崩してしまったけれど、薬を持っておらず、病院も開いていない…そんなときに頼りになるのが薬局。薬局は英語でdrugstoreやpharmacyと言います。drugstoreは薬のほかに生活用品等を扱っていることが多く、処方箋を必要とせずに薬を購入することができます。一方pharmacyは、一般的に病院で出された処方箋をもとに薬を調剤する薬局です。アメリカでは、drugstoreの中で処方箋の必要のある薬を売る場所のことをpharmacyと呼ぶ場合もあります。

out of the blueは何かが突然予期せずに起こることを表すフレーズになります。例えば、何年も音信不通だった友人から突然連絡が来た、などのように、前触れや警告なしに、予測できないタイミングや状況で何かが起こることを表します。
また、突然の出来事や意外な展開に対しても、Out of the blue, he said that he’s changing jobs.」（突然彼が転職するといった）というように使われます。
日本語でいう、「晴天の霹靂」に近い表現ですね。