Not on your life. は、相手の提案を否定したり、依頼を断るときに使うフレーズですが、
英語には似たような意味合いの表現がいくつかあります。

今教えてもらったことがちょっとわからないという程度なので、I don’t understand.が自然な表現になります。

「理解しない（＝わからない）」という事実を、can’tではなくdon’tを用いてシンプルに表現すればいいのです。

slimは、This new phone is really slim.（この新しい電話はとても薄いんだ）のように、モノに対して使うこともできます。

ほかに、slenderやleanという言葉もスリムな体型の人に対して使われます。

plateは「皿」なので、have a lot on one’s plateの直訳は「〜の皿にたくさんのものがある」になります。それが転じて、「多くの仕事ややらねばならないことがたくさんある」ということを指す表現として使われています。やるべきことや取り組んでいることが非常に多く、忙しい状況を表現する際に使われます。特にビジネスで使われますが、家事や宿題など「やることが山ほどある！」という意味で、日常会話でもよく使われています。

log は「丸太」という意味です。丸太を使った建物を「ログハウス」と呼ぶのでご存知の方も多いかもしれません。sleep like a log は直訳すると「丸太のように眠る」ですが、実は「ぐっすり眠る、熟睡する」という意味のイディオムとして使われています。