cold day は「寒い日」という意味。１つめの英文には、この cold day を用いた cold day in hell というイディオムが使われています。cold day in hell を直訳すると「地獄の寒い日」ですが、hell（灼熱地獄）では cold day（寒い日）になることはないということから、これで「決してありえない、絶対にない」という意味の英語表現になります。

リキが思った通り、shotは「発砲」「発射」などという意味ですが、実は「試み」という意味もあります。なので、give a shotで「試しにやってみる」「挑戦してみる」などという意味として使われています。躊躇している相手に「試してごらんよ」と背中を押すようなひと言になります。shotの代わりにtryでもOKです。また、Give it your best shot.「精一杯やってみなよ」のようにbest を入れるとさらに強調された言い方になります。

食べ物の好き嫌いが多い人のことを、英語で picky eater といいます。used to … は「よく～したものだ、以前は～したものだった」と過去の習慣を述べるときに用いるイディオムなので、I used to be a picky eater. で「昔は食べ物の好き嫌いが多かったです」「以前は好き嫌いが激しかったんです」という意味になります。

パーティやピクニックなど、楽しげなお出かけの計画を聞いて、思わず「仲間に入れて！」という時の表現になります。英語で countは　count the number of （〜の数を数える）のように「数える」ですが、Count me in.　で 「私もその頭数に入れてください」「人数に入れてください」つまり、その楽しげな計画に私も参加させて！という意味になります。