sleep on it は、ある事柄を決定する前に「一晩考えてみる」という意味になります。直訳すると「それに関して眠る」ですが、「一晩寝かせる」つまり「じっくり考える」という意味合いになります。この表現は、物事を急いで判断せず、より良い結論や解決策を見つけるために時間をかけたいという時に使います。仕事でも取引先などでその場での即答を避ける際によく使われる表現になります。また、相手に「ゆっくり考えてね」と促す時にも使えます。
“in your corner”は、ボクシングなどの試合で、リングのコーナーにいる、セコンドなどが選手の味方であり、大きな支えであることから派生したフレーズになります。このフレーズは、友人や家族、といった信頼できる関係にある人が困難に直面しているときや何かに挑戦しようとしているときに励ましやサポートを表現するために使われます。相手の側にいて、彼らを助けるという意志を示す心強い表現です。
spoilには「ダメにする」「無駄にする」と言う意味があり、Tofu spoils quickly if not kept refrigerated.（豆腐は冷蔵庫に入れないとすぐに腐る）のように食べ物がダメになってしまうことを表します。spoil one’s dinnerで「夕食をダメにする」という意味で、せっかくの夕飯の前に何かを食べてしまって、お腹をいっぱいにさせてしまうようなことを表します。食べ物だけではなく、イベントごとなどを「台無しにする」といった意味合いもあります。
spill the beans は、直訳では「豆をこぼす」ですが、かつてギリシャで投票するときに白と黒の豆を使って行い、それをこぼす＝投票結果がわかる、というところから、予期せず「秘密をばらす」という意味で使われるようになったようです。ですから、Don’t spill the beans.と否定形にすると「秘密にしてね」という意味になります。spill 自体に秘密などを「漏らす」という意味もあるので、Spill it! で「白状しろ！」という意味で使われます。
gesture はみなさんもご存じの通り、「ジェスチャー」つまり意思表示のことですよね。ナイスジェスチャーは「素晴らしい意思表示」つまり相手の思いやりのある行為などを表します。何かしてもらった時に、That’s a nice gesture.といえば「優しいね」「気が利くね」のような意味になります。
ユキのいう通り、springは「春」という意味なのですが、ここでは動詞として使われています。ベッドのスプリング（バネ）からも想像できると思いますが、springには「はねる」「とぶ」という意味もあります。spring something on someoneで、誰かの言動が誰かを飛び上がらせてしまうくらい驚かせたときに使います。突然のニュースや、予期せぬ行動で人を驚かせたということを表す表現になります。ちなみに「湧き出る」という意味もあるのでspring waterで「湧き水」を表します。