keep an eye on は「～から目を離さない、～を見守る」という意味のイディオムです。「荷物を置いたままいったん席を離れるとき」や「子どものお世話をしているとき」などに用いられます。それぞれのシチュエーションでの使い方を確認しましょう。

ball は「球」「ボール」以外にも「楽しい時間」という意味があります。なので、Did you have a ball? は、パーティやデートなどの楽しげなイベントごとに関して、相手が楽しんだかどうかを尋ねるフレーズになります。

keep one’s shirt on は「シャツを着たままに」が直訳ですが、慌てている人や興奮している人に対して「落ち着いて」「慌てないで」などと声をかけるときに使う表現になります。

plateは「皿」なので、have a lot on one’s plateの直訳は「〜の皿にたくさんのものがある」になります。それが転じて、「多くの仕事ややらねばならないことがたくさんある」ということを指す表現として使われています。やるべきことや取り組んでいることが非常に多く、忙しい状況を表現する際に使われます。特にビジネスで使われますが、家事や宿題など「やることが山ほどある！」という意味で、日常会話でもよく使われています。

tight を使った英語表現
tight は「きつい、締まった、せまい」などの意味を持つ単語ですが、ネイティブ（特に若者）の日常会話では「かっこいい、すばらしい、イケてる」というプラスの意味でも使われます。