That explains it.
explainは「説明する」という意味なので、That explains it.で、自分が疑問に思っていたことが、相手の説明や発言によって「それで腑に落ちた」「どおりでそのはずだ」と納得がいった気持ちを表すときに使います。その発言で説明がついた、もやもやがすっきりした！のようなイメージです。No wonder.という言い回しも同じニュアンスで「なるほど、納得」のような意味合いで使いますので合わせて覚えておきましょう。

Sorry, I didn’t catch what you said. なら「ごめん、あなたが言ったことが聞き取れなかった」ということです。

間違ってもI wrote down the saying. とは言わないように！

sleep on it は、ある事柄を決定する前に「一晩考えてみる」という意味になります。直訳すると「それに関して眠る」ですが、「一晩寝かせる」つまり「じっくり考える」という意味合いになります。この表現は、物事を急いで判断せず、より良い結論や解決策を見つけるために時間をかけたいという時に使います。仕事でも取引先などでその場での即答を避ける際によく使われる表現になります。また、相手に「ゆっくり考えてね」と促す時にも使えます。

音楽を演奏するとき、目で楽譜を見なくても弾ける状態を by ear「暗譜で」と表現します。

直訳だと「ウサギの穴に落ちる」ですが。これは、「本来の目的とは逸れてしまう」「本筋から逸れる」などという意味で、転じて「底なし沼にハマる」「複雑な状況から抜け出せない」のようなニュアンスで使われます。例えば、ネットや動画、配信ドラマなどを見ていると、おすすめが次々に出てきてなかなか抜け出せない、そんな体験ありませんか？これは、諸説ありますが、ウサギの巣穴が複雑なことや、「アリスの不思議の国」で、アリスがウサギを追いかけて穴に落ちて、非現実的な体験をしたことなどから誕生したイディオムのようです。