leaveには「出発する」「離れる」という意味があり、I’m leaving.で「行ってきます」「行くね」とその場から離れる時に使います。Leave to me.というフレーズでは、leave は「任せる」という意味で使われていて、leave it to …で「〜に任せる」という意味になります。

rein とは馬を操る「手綱」のこと。通常は複数形で、pull on the reins（手綱を引く）のように用います。rein の読み方は「レイン」ですが、free rein は決して「自由な雨」ではなく、思いのままに手綱を操れるということから「自由裁量、行動の自由」を表すイディオムです。

get someone started で「〜をはじめさせる」という意味で、ここでは「おしゃべり」のこと。「私におしゃべりをはじめさせないで」が直訳ですが、つまり「話し出すとキリがないよ」「覚悟してね」のようなニュアンスで、自分がたくさん話したい時に使います。

be all ears は「全部が耳になる」ですが、体が全て耳になるくらい、興味津々だ、という気持ちを表します。自分がはじめて聞いたことや、興味をもったことに関して「よく聞かせて」「じっくり聞かせて」などというときに使う表現です。

人の名前などがパッと出てこないようなときは、not off the top of my head (すぐに思いつかない) という表現が使えます。