When I left home this morning, I found that my bike tire had gone flat.

今朝家を出たとき、自転車のタイヤがパンクしているのに気づいた。

ropeは「ロープ」「縄」という意味ですが、口語ではthe ropesで「コツ」という意味もあります。なので、show someone the ropes で「コツを見せる」つまり、手ほどきをする、コツをやってみせるといった意味で使われます。似ている表現でlearn the ropesというイディオムがあり、「コツを学ぶ」「要領を得る」といった意味になります。諸説ありますが、船上でのロープの扱いを覚える＝慣れる、というところから生まれた表現だと言われています。ropesと複数形にするのを忘れないでくださいね。

come with the territoryは「その領域・仕事にはつきものである」という意味です。

たとえば「この仕事はやりたくない、気が進まない」と話す友人や同僚がいたとします。そんなとき日本語では、相手をなぐさめたり、

励ます気持ちを込めて「それも仕事のうちだよ」と言いますね。

直訳だと「ウサギの穴に落ちる」ですが。これは、「本来の目的とは逸れてしまう」「本筋から逸れる」などという意味で、転じて「底なし沼にハマる」「複雑な状況から抜け出せない」のようなニュアンスで使われます。例えば、ネットや動画、配信ドラマなどを見ていると、おすすめが次々に出てきてなかなか抜け出せない、そんな体験ありませんか？これは、諸説ありますが、ウサギの巣穴が複雑なことや、「アリスの不思議の国」で、アリスがウサギを追いかけて穴に落ちて、非現実的な体験をしたことなどから誕生したイディオムのようです。

My door is always open.　直訳だと確かに「私の部屋のドアはいつでも開いている」ですがこれは＝「いつでも来てください」＝「いつでも相談に乗りますよ」という意味になります。