eatは「食べる」という意味ですが、心を「悩ませる」「むしばむ」という意味もあるんです。なので、What’s eating you? というと、「何があなたを悩ませているの？」つまり「何を悩んでいるの？」と、悩んでいる表情を浮かべる相手に、理由を尋ねるときなどに使うフレーズです。

ropeは「ロープ」「縄」という意味ですが、口語ではthe ropesで「コツ」という意味もあります。なので、show someone the ropes で「コツを見せる」つまり、手ほどきをする、コツをやってみせるといった意味で使われます。似ている表現でlearn the ropesというイディオムがあり、「コツを学ぶ」「要領を得る」といった意味になります。諸説ありますが、船上でのロープの扱いを覚える＝慣れる、というところから生まれた表現だと言われています。ropesと複数形にするのを忘れないでくださいね。

fat chanceを直訳すると「太いチャンス」なので、これを聞くと「チャンスが大きい」と思ってしまいがちですが、

実はまったくの逆！

仕事を終えて帰宅する際、日本では「お先に失礼します」というあいさつをして会社を出る習慣がありますね。「上司や同僚よりも先に帰るのが申し訳ない」という気持ちが表れた表現ですが、欧米人にとってはこのような感覚はないため、先に帰る場合はシンプルな別れのあいさつをするのが一般的です。

bucketは「バケツ」という意味ですが、sweatは「汗」「汗をかく」という意味ですので、バケツいっぱいになるほど「大量に汗をかく」という意味になります。sweat bucketsで「大量の汗をかく」「汗だくになる」という意味になります。大粒の汗が次から次へと出てとまらないとき、暑さを誇張して使う表現になります。カジュアルな言い方なので、家族や友達の間でよく使われます。