リキが思った通り、shotは「発砲」「発射」などという意味ですが、実は「試み」という意味もあります。なので、give a shotで「試しにやってみる」「挑戦してみる」などという意味として使われています。躊躇している相手に「試してごらんよ」と背中を押すようなひと言になります。shotの代わりにtryでもOKです。また、Give it your best shot.「精一杯やってみなよ」のようにbest を入れるとさらに強調された言い方になります。

食事に誘う
grab a bite は「軽く食事をする、軽食をとる」という意味で、日常会話でよく使われるイディオムです。

heads と up で「頭を上げる」に思えるかもしれませんが、実は heads-up は「注意」という意味の名詞です。Heads up! で「危ない、気をつけて」と、頭の上に落ちてくる物への注意を促すフレーズになるのですが、名詞の heads-up は落下物に限らず、状況報告や予定変更などいろいろな情報に用いることができます。

corner は「角」などで、around the corner で「角を曲がったところに」という意味になります。道案内などで just around the corner といえば、「角を曲がればすぐ」もしくは「すぐそこ」と言うニュアンスで使われます。

fat chanceを直訳すると「太いチャンス」なので、これを聞くと「チャンスが大きい」と思ってしまいがちですが、

実はまったくの逆！