ropeは「ロープ」「縄」という意味ですが、口語ではthe ropesで「コツ」という意味もあります。なので、show someone the ropes で「コツを見せる」つまり、手ほどきをする、コツをやってみせるといった意味で使われます。似ている表現でlearn the ropesというイディオムがあり、「コツを学ぶ」「要領を得る」といった意味になります。諸説ありますが、船上でのロープの扱いを覚える＝慣れる、というところから生まれた表現だと言われています。ropesと複数形にするのを忘れないでくださいね。

イディオム good with figures の figure とは、フィギュアスケート（figure skating）や人形のフィギュアのことではなく、「数字」を表します。つまり、number と一緒です。good with … は「〜に巧みな」という意味ですので、あとに figures を続けると、「数字に強い、計算が得意だ」となります。逆に「数字に弱い」なら bad with figures と表現できます。

next to というフレーズは「〜のとなりに」という意味で知られています。たとえば There is a small house next to the building.（その建物のとなりに小さな家がある）のような使い方ができます。しかし、そうした「位置」について述べる以外の用法もあります。

Sorry, I didn’t catch what you said. なら「ごめん、あなたが言ったことが聞き取れなかった」ということです。

間違ってもI wrote down the saying. とは言わないように！

You bet.は、「もちろんです！」という意味で、相手から何か提案された時や、予定などを聞かれた時に、ノリノリで答えるときのひと言です。