動詞のchillの本来の意味には「冷える、寒気を覚える」などがありますが、

今回エルダーのセリフで使われているchillは「ゆっくりする、くつろぐ、リラックスする」という意味のスラングです。

体調を崩してしまったけれど、薬を持っておらず、病院も開いていない…そんなときに頼りになるのが薬局。薬局は英語でdrugstoreやpharmacyと言います。drugstoreは薬のほかに生活用品等を扱っていることが多く、処方箋を必要とせずに薬を購入することができます。一方pharmacyは、一般的に病院で出された処方箋をもとに薬を調剤する薬局です。アメリカでは、drugstoreの中で処方箋の必要のある薬を売る場所のことをpharmacyと呼ぶ場合もあります。

Just between you and me. は直訳だと「わたしとあなたの間だけ」という意味ですが、「ここだけの話」「内緒だよ」というニュアンスで、話し相手以外には教えたくない話をするときの言い回しになります。

唐突に「どうして長い顔なの？」とぶしつけな質問をしているわけではありません。long face を直訳すると「長い顔」ですが、実は「浮かない顔つき」の意味があります。Why the long face? は、悲しそうに見える相手を心配して、「浮かない顔をして、どうしたの？」とたずねる定型表現です。

wordは「単語」「言葉」などという意味ですが、実は「保証」や「約束」という意味もあります。相手に対して自分の言ったことを「保証する」「約束するよ」と言いたい時に使う表現になります。I’ll keep my word.といっても同じような意味になります。反対に相手に約束してほしい時には、Can you give me your word?（約束してくれる？）のようにも使います。どちらも使えるようにしておくといいですね。