stomach は「胃」のことですので、have butterflies in one’s stomach は「胃のなかに蝶がいる」という意味になりますが、実はこれは比喩表現。
緊張や心配で「胸がドキドキする、そわそわと落ち着かない」という様子を表す決まり文句です。

slideは動詞で「滑る」「滑らせる」などという意味で、Let it slide.で「それを滑らせちゃおう」→「受け流そう」→「忘れてしまおう」のようなニュアンスで使われています。

直訳では、「あなた自身を自分の家にいるような状態にして」つまり、「自分の家みたいにくつろいでね」という意味になります。日本ではいくらくつろぐと言っても、自分の家にいるように振る舞う、まではなかなかできませんが、アメリカでは、好きにテレビをつけたり、お代わりをキッチンに勝手にとりに行ったりと文字通り自分の家のようにしてOKです。もてなす側の「仲のいい人には、家族のように振る舞って欲しい」という気持ちの表れになります。似ている表現にHelp yourself to …で食べ物などについて「好きに食べたり飲んだりしてね」という意味になります。

今回は、試合中や実況中継など、スポーツ場面でよく耳にするフレーズをご紹介します。野球やバスケット、サッカーなど、スポーツのルールはさまざまですが、実は試合や解説時などに使う表現には共通するものが多くあります。

cold day は「寒い日」という意味。１つめの英文には、この cold day を用いた cold day in hell というイディオムが使われています。cold day in hell を直訳すると「地獄の寒い日」ですが、hell（灼熱地獄）では cold day（寒い日）になることはないということから、これで「決してありえない、絶対にない」という意味の英語表現になります。