食事に誘う
grab a bite は「軽く食事をする、軽食をとる」という意味で、日常会話でよく使われるイディオムです。

That explains it.
explainは「説明する」という意味なので、That explains it.で、自分が疑問に思っていたことが、相手の説明や発言によって「それで腑に落ちた」「どおりでそのはずだ」と納得がいった気持ちを表すときに使います。その発言で説明がついた、もやもやがすっきりした！のようなイメージです。No wonder.という言い回しも同じニュアンスで「なるほど、納得」のような意味合いで使いますので合わせて覚えておきましょう。

next to というフレーズは「〜のとなりに」という意味で知られています。たとえば There is a small house next to the building.（その建物のとなりに小さな家がある）のような使い方ができます。しかし、そうした「位置」について述べる以外の用法もあります。

sleep on it は、ある事柄を決定する前に「一晩考えてみる」という意味になります。直訳すると「それに関して眠る」ですが、「一晩寝かせる」つまり「じっくり考える」という意味合いになります。この表現は、物事を急いで判断せず、より良い結論や解決策を見つけるために時間をかけたいという時に使います。仕事でも取引先などでその場での即答を避ける際によく使われる表現になります。また、相手に「ゆっくり考えてね」と促す時にも使えます。

cup of tea は「一杯のお茶」という意味ですが、紅茶のブランドや飲み方にはそれぞれ好みがあることから、「好きなもの」「好み」「お気に入り」という意味でも使われています。
myの前にreally やjustを入れるとさらに強調されて、「まさに私好み」という意味になります。また、否定的にIt’s not my cup of tea.（これは好みじゃないな）と使うことも多く、苦手なものや不得意なことを「嫌い」と言わずにやんわり伝えることができます。