once in a blue moon は直訳すると「青い月に一度」となりますが、実は「めったに〜ない」という意味になります。

病気や体調不良を表現する際はsickやillを使いますが、そのニュアンスは大きく異なります。sickは「少々気分が悪い」程度の「体調不良」をあらわし、illは長期の重い病気を意味します。

仕事を終えて帰宅する際、日本では「お先に失礼します」というあいさつをして会社を出る習慣がありますね。「上司や同僚よりも先に帰るのが申し訳ない」という気持ちが表れた表現ですが、欧米人にとってはこのような感覚はないため、先に帰る場合はシンプルな別れのあいさつをするのが一般的です。

cup of tea は「一杯のお茶」という意味ですが、紅茶のブランドや飲み方にはそれぞれ好みがあることから、「好きなもの」「好み」「お気に入り」という意味でも使われています。
myの前にreally やjustを入れるとさらに強調されて、「まさに私好み」という意味になります。また、否定的にIt’s not my cup of tea.（これは好みじゃないな）と使うことも多く、苦手なものや不得意なことを「嫌い」と言わずにやんわり伝えることができます。

couldn’tは「できなかった」という否定の言い方なので、よくないイメージがあるかもしれません。しかし実際には、大変ポジティブな意味合いで用いられることもあります。