beat は「打つ」の他にも「打ち負かす」という意味があるので、Nothing beats で「〜も〜をまかすことはできない」つまり「〜にかなうものはない！」という意味になります。

体調を崩してしまったけれど、薬を持っておらず、病院も開いていない…そんなときに頼りになるのが薬局。薬局は英語でdrugstoreやpharmacyと言います。drugstoreは薬のほかに生活用品等を扱っていることが多く、処方箋を必要とせずに薬を購入することができます。一方pharmacyは、一般的に病院で出された処方箋をもとに薬を調剤する薬局です。アメリカでは、drugstoreの中で処方箋の必要のある薬を売る場所のことをpharmacyと呼ぶ場合もあります。

bucketは「バケツ」という意味ですが、sweatは「汗」「汗をかく」という意味ですので、バケツいっぱいになるほど「大量に汗をかく」という意味になります。sweat bucketsで「大量の汗をかく」「汗だくになる」という意味になります。大粒の汗が次から次へと出てとまらないとき、暑さを誇張して使う表現になります。カジュアルな言い方なので、家族や友達の間でよく使われます。

Not on your life. は、相手の提案を否定したり、依頼を断るときに使うフレーズですが、
英語には似たような意味合いの表現がいくつかあります。

plateは「皿」なので、have a lot on one’s plateの直訳は「〜の皿にたくさんのものがある」になります。それが転じて、「多くの仕事ややらねばならないことがたくさんある」ということを指す表現として使われています。やるべきことや取り組んでいることが非常に多く、忙しい状況を表現する際に使われます。特にビジネスで使われますが、家事や宿題など「やることが山ほどある！」という意味で、日常会話でもよく使われています。